Contoh soal limit trigonometri membantu memahami nilai suatu fungsi trigonometri ketika variabel mendekati nilai tertentu. Materi ini banyak menggunakan identitas trigonometri dan beberapa limit dasar yang perlu dikuasai.
Beberapa rumus penting dalam limit trigonometri adalah:
lim x→0 (sin x / x) = 1
lim x→0 (tan x / x) = 1
lim x→0 ((1 − cos x) / x²) = 1/2
Identitas yang sering digunakan antara lain:
sin 2x = 2 sin x cos x
tan x = sin x / cos x
1 − cos 2x = 2 sin²x
Dalam soal limit trigonometri, sudut biasanya dinyatakan dalam radian. Strategi penyelesaian dapat dilakukan dengan menyederhanakan bentuk, menggunakan identitas trigonometri, atau mengubah bentuk agar sesuai dengan rumus limit dasar.
Soal Nomor 1
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin x / x)
Pilihan Jawaban
A. 0
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. Tidak terhingga
Jawaban Benar
C. 1
Pembahasan Lengkap
Gunakan limit dasar:
lim x→0 (sin x / x) = 1
Jadi, nilai limit tersebut adalah 1.
Kompetensi yang Diukur
Memahami limit dasar trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan limit dasar sin x/x.
Level Kognitif
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 2
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (tan x / x)
Pilihan Jawaban
A. 0
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. −1
Jawaban Benar
C. 1
Pembahasan Lengkap
Gunakan limit dasar:
lim x→0 (tan x / x) = 1
Jadi, nilai limitnya adalah 1.
Kompetensi yang Diukur
Memahami limit dasar tangen.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan limit fungsi tan x/x ketika x mendekati nol.
Level Kognitif
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 3
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 3x / x)
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 6
Jawaban Benar
C. 3
Pembahasan Lengkap
Ubah bentuk:
sin 3x / x = 3(sin 3x / 3x)
Maka:
lim x→0 3(sin 3x / 3x)
= 3 × 1
= 3
Jadi, nilai limitnya adalah 3.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan limit dasar dengan bentuk sudut kelipatan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah bentuk limit agar sesuai dengan rumus dasar.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 4
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 5x / 2x)
Pilihan Jawaban
A. 2
B. 5/2
C. 3
D. 5
E. 10
Jawaban Benar
B. 5/2
Pembahasan Lengkap
Bentuk dapat ditulis:
sin 5x / 2x = (5/2)(sin 5x / 5x)
Maka:
lim x→0 (5/2)(sin 5x / 5x)
= (5/2) × 1
= 5/2
Jadi, nilai limitnya adalah 5/2.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan faktor pengali pada limit trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyusun bentuk limit agar memenuhi limit dasar sin u/u.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 5
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((1 − cos x) / x²)
Pilihan Jawaban
A. 0
B. 1/4
C. 1/2
D. 1
E. 2
Jawaban Benar
C. 1/2
Pembahasan Lengkap
Gunakan limit dasar:
lim x→0 ((1 − cos x) / x²) = 1/2
Jadi, nilai limit tersebut adalah 1/2.
Kompetensi yang Diukur
Memahami limit dasar yang melibatkan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan rumus limit dasar 1 − cos x.
Level Kognitif
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 6
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((1 − cos 2x) / x²)
Pilihan Jawaban
A. 1/2
B. 1
C. 2
D. 4
E. 8
Jawaban Benar
C. 2
Pembahasan Lengkap
Gunakan identitas:
1 − cos 2x = 2 sin²x
Maka:
(1 − cos 2x)/x²
= 2 sin²x/x²
= 2(sin x/x)²
Ketika x → 0:
= 2(1)²
= 2
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan identitas trigonometri dalam limit.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyederhanakan bentuk 1 − cos 2x menggunakan identitas trigonometri.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 7
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (tan 4x / sin 2x)
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 8
Jawaban Benar
B. 2
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
tan 4x = sin 4x/cos 4x
Sehingga:
tan 4x/sin 2x = sin 4x/(cos 4x · sin 2x)
Karena:
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x
Maka:
= 2 cos 2x/cos 4x
Ketika x → 0:
= 2(1)/(1)
= 2
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan identitas trigonometri untuk menyelesaikan limit.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah fungsi tangen ke bentuk sinus dan cosinus.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 8
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 2x / sin 5x)
Pilihan Jawaban
A. 1/5
B. 2/5
C. 1/2
D. 5/2
E. 5
Jawaban Benar
B. 2/5
Pembahasan Lengkap
Tulis:
sin 2x/sin 5x
= (sin 2x/2x) × (2x/5x) × (5x/sin 5x)
Ketika x → 0:
= 1 × 2/5 × 1
= 2/5
Jadi, nilai limitnya adalah 2/5.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan limit dasar pada perbandingan sinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah bentuk perbandingan sinus menjadi beberapa limit dasar.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 9
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (x / sin 3x)
Pilihan Jawaban
A. 1/3
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 3
Jawaban Benar
A. 1/3
Pembahasan Lengkap
Tulis:
x/sin 3x = (1/3)(3x/sin 3x)
Ketika x → 0:
= 1/3 × 1
= 1/3
Jadi, nilai limitnya adalah 1/3.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan kebalikan limit dasar sinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyusun ulang bentuk limit untuk menggunakan rumus sin u/u.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 10
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((1 − cos 3x) / x²)
Pilihan Jawaban
A. 1/2
B. 1
C. 3/2
D. 9/2
E. 9
Jawaban Benar
D. 9/2
Pembahasan Lengkap
Gunakan bentuk:
1 − cos 3x = 2 sin²(3x/2)
Maka:
(1 − cos 3x)/x²
= 2 sin²(3x/2)/x²
= 2 × [(3/2)²] × [sin(3x/2)/(3x/2)]²
Ketika x → 0:
= 2 × 9/4 × 1
= 9/2
Jadi, nilai limitnya adalah 9/2.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis limit trigonometri menggunakan identitas sudut setengah.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah bentuk limit cosinus menjadi bentuk sinus yang sesuai dengan limit dasar.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 11
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 4x / sin 2x)
Pilihan Jawaban
A. 1/2
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Jawaban Benar
C. 2
Pembahasan Lengkap
Ubah bentuk:
sin 4x / sin 2x
= (sin 4x/4x) × (4x/2x) × (2x/sin 2x)
Ketika x → 0:
= 1 × 2 × 1
= 2
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan limit dasar fungsi sinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan limit perbandingan dua fungsi sinus.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 12
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (tan 3x / tan x)
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 6
Jawaban Benar
C. 3
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
tan 3x / tan x
= (tan 3x/3x) × (3x/x) × (x/tan x)
Ketika x → 0:
= 1 × 3 × 1
= 3
Jadi, nilai limitnya adalah 3.
Kompetensi yang Diukur
Menentukan limit fungsi tangen.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan limit dasar tan x/x.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 13
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 6x / 3x)
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
E. 12
Jawaban Benar
B. 2
Pembahasan Lengkap
Susun ulang:
sin 6x / 3x
= 2(sin 6x/6x)
Ketika x → 0:
= 2 × 1
= 2
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan limit dasar sinus dengan koefisien.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah bentuk limit agar sesuai dengan rumus dasar.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 14
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 2x / tan 3x)
Pilihan Jawaban
A. 1/3
B. 2/3
C. 1
D. 3/2
E. 2
Jawaban Benar
B. 2/3
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
sin 2x / tan 3x
= (sin 2x/2x) × (2x/3x) × (3x/tan 3x)
Ketika x → 0:
= 1 × 2/3 × 1
= 2/3
Jadi, nilai limitnya adalah 2/3.
Kompetensi yang Diukur
Menghubungkan limit sinus dan tangen.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan perbandingan fungsi trigonometri menggunakan limit dasar.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 15
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((1 − cos 4x) / x²)
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
E. 16
Jawaban Benar
C. 8
Pembahasan Lengkap
Gunakan identitas:
1 − cos 4x = 2 sin² 2x
Maka:
(1 − cos 4x)/x²
= 2 sin² 2x/x²
= 2 × 4 × (sin 2x/2x)²
Ketika x → 0:
= 8 × 1²
= 8
Jadi, nilai limitnya adalah 8.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan identitas trigonometri dalam limit.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah bentuk 1 − cos ax menjadi bentuk sinus.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 16
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((1 − cos 2x) / (2x²))
Pilihan Jawaban
A. 1/4
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 4
Jawaban Benar
B. 1/2
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
1 − cos 2x = 2 sin²x
Maka:
(1 − cos 2x)/(2x²)
= 2 sin²x/(2x²)
= (sin x/x)²
Ketika x → 0:
= 1
Jadi, jawaban yang benar adalah C. 1.
Kompetensi yang Diukur
Menyederhanakan limit dengan identitas trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah bentuk limit menggunakan identitas 1 − cos 2x.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 17
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (x² / (sin x)²)
Pilihan Jawaban
A. 0
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. Tidak ada
Jawaban Benar
C. 1
Pembahasan Lengkap
Bentuk tersebut dapat ditulis:
x²/(sin x)² = [x/sin x]²
Karena:
lim x→0 (x/sin x) = 1
maka:
lim x→0 [x/sin x]² = 1² = 1
Jadi, nilai limitnya adalah 1.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan bentuk kebalikan limit sinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan limit dasar untuk bentuk berpangkat.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 18
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 7x / sin x)
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 5
C. 6
D. 7
E. 14
Jawaban Benar
D. 7
Pembahasan Lengkap
Susun menjadi:
sin 7x/sin x
= (sin 7x/7x) × 7 × (x/sin x)
Ketika x → 0:
= 1 × 7 × 1
= 7
Jadi, nilai limitnya adalah 7.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan limit dasar pada perbandingan sinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan limit sinus dengan koefisien berbeda.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 19
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (tan 2x / sin 4x)
Pilihan Jawaban
A. 1/4
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 4
Jawaban Benar
B. 1/2
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
tan 2x = sin 2x/cos 2x
Maka:
tan 2x/sin 4x
= sin 2x/(cos 2x · sin 4x)
Karena:
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x
maka:
= 1/(2cos²2x)
Ketika x → 0:
= 1/(2 × 1²)
= 1/2
Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.
Kompetensi yang Diukur
Menyelesaikan limit dengan identitas trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah fungsi tangen dan menggunakan identitas sudut ganda.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 20
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((1 − cos 5x) / x²)
Pilihan Jawaban
A. 5/2
B. 5
C. 10
D. 25/2
E. 25
Jawaban Benar
D. 25/2
Pembahasan Lengkap
Gunakan bentuk:
1 − cos 5x = 2 sin²(5x/2)
Maka:
(1 − cos 5x)/x²
= 2 sin²(5x/2)/x²
= 2 × (25/4) × [sin(5x/2)/(5x/2)]²
Ketika x → 0:
= 50/4 × 1
= 25/2
Jadi, nilai limitnya adalah 25/2.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis limit trigonometri menggunakan identitas sudut setengah.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan bentuk limit 1 − cos(ax) dengan transformasi trigonometri yang tepat.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 21
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 3x / tan 2x)
Pilihan Jawaban
A. 1/3
B. 1/2
C. 3/2
D. 2
E. 3
Jawaban Benar
C. 3/2
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
sin 3x / tan 2x
= (sin 3x/3x) × (3x/2x) × (2x/tan 2x)
Ketika x → 0:
= 1 × 3/2 × 1
= 3/2
Jadi, nilai limitnya adalah 3/2.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan limit dasar sinus dan tangen.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan perbandingan fungsi trigonometri menggunakan limit dasar.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 22
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (x / tan 4x)
Pilihan Jawaban
A. 1/4
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 4
Jawaban Benar
A. 1/4
Pembahasan Lengkap
Tulis:
x/tan 4x = 1/4 × (4x/tan 4x)
Karena:
lim x→0 (tan 4x/4x) = 1
maka:
lim x→0 (4x/tan 4x) = 1
Sehingga:
1/4 × 1 = 1/4
Jadi, nilai limitnya adalah 1/4.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan kebalikan limit dasar tangen.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah bentuk limit agar sesuai dengan rumus dasar.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 23
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((1 − cos 2x) / x²)
Pilihan Jawaban
A. 1/2
B. 1
C. 2
D. 4
E. 8
Jawaban Benar
C. 2
Pembahasan Lengkap
Gunakan identitas:
1 − cos 2x = 2 sin²x
Maka:
(1 − cos 2x)/x²
= 2 sin²x/x²
= 2(sin x/x)²
Ketika x → 0:
= 2(1)²
= 2
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan identitas trigonometri dalam limit.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah bentuk cosinus menjadi bentuk sinus.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 24
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 2x / x)
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 1/2
Jawaban Benar
B. 2
Pembahasan Lengkap
Tulis:
sin 2x/x = 2(sin 2x/2x)
Ketika x → 0:
= 2 × 1
= 2
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan limit dasar sinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan limit sinus dengan sudut berbentuk kelipatan x.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 25
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (tan 5x / sin 5x)
Pilihan Jawaban
A. 0
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 5
Jawaban Benar
C. 1
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
tan 5x = sin 5x/cos 5x
Maka:
tan 5x/sin 5x = 1/cos 5x
Ketika x → 0:
cos 5x → cos 0 = 1
Sehingga:
lim = 1
Jadi, nilai limitnya adalah 1.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan identitas trigonometri dalam menentukan limit.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengubah fungsi tangen menjadi bentuk sinus dan cosinus.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 26
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((sin 3x)/(sin 2x))²
Pilihan Jawaban
A. 3/2
B. 9/4
C. 4/9
D. 9
E. 6
Jawaban Benar
B. 9/4
Pembahasan Lengkap
Dari limit dasar:
lim x→0 (sin 3x/sin 2x) = 3/2
Maka:
lim x→0 [(sin 3x/sin 2x)²]
= (3/2)²
= 9/4
Jadi, nilai limitnya adalah 9/4.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan sifat limit pada fungsi berpangkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan limit fungsi trigonometri yang dikuadratkan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 27
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 ((1 − cos 6x) / x²)
Pilihan Jawaban
A. 3
B. 6
C. 9
D. 18
E. 36
Jawaban Benar
D. 18
Pembahasan Lengkap
Gunakan identitas:
1 − cos 6x = 2 sin²3x
Maka:
(1 − cos 6x)/x²
= 2 sin²3x/x²
= 2 × 9 × (sin 3x/3x)²
Ketika x → 0:
= 18 × 1
= 18
Jadi, nilai limitnya adalah 18.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan identitas sudut ganda dalam limit trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyederhanakan bentuk 1 − cos(ax) menggunakan identitas trigonometri.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 28
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (sin 4x / x) − 2
Pilihan Jawaban
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Jawaban Benar
C. 2
Pembahasan Lengkap
Hitung terlebih dahulu:
lim x→0 (sin 4x/x)
= 4
Maka:
4 − 2 = 2
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan limit dasar pada bentuk operasi aljabar.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan limit trigonometri yang diikuti operasi pengurangan konstanta.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 29
Pertanyaan
Tentukan nilai:
lim x→0 (tan 6x / sin 3x)
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
E. 12
Jawaban Benar
B. 2
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
tan 6x = sin 6x/cos 6x
Sehingga:
tan 6x/sin 3x
= sin 6x/(cos 6x · sin 3x)
Karena:
sin 6x = 2 sin 3x cos 3x
Maka:
= 2 cos 3x/cos 6x
Ketika x → 0:
= 2(1)/1
= 2
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan identitas sudut ganda dalam limit trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyederhanakan bentuk tangen dan sinus menggunakan identitas trigonometri.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 30
Pertanyaan
Pernyataan yang benar mengenai limit trigonometri adalah ….
Pilihan Jawaban
A. lim x→0 (sin x/x) = 0
B. lim x→0 (sin x/x) = 1
C. lim x→0 (tan x/x) = 0
D. lim x→0 ((1 − cos x)/x²) = 1
E. Semua limit trigonometri bernilai tak hingga
Jawaban Benar
B. lim x→0 (sin x/x) = 1
Pembahasan Lengkap
Salah satu limit dasar yang paling penting adalah:
lim x→0 (sin x/x) = 1
Selain itu:
lim x→0 (tan x/x) = 1
dan:
lim x→0 ((1 − cos x)/x²) = 1/2
Jadi, jawaban yang benar adalah B.
Kompetensi yang Diukur
Memahami konsep dasar limit trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengenali rumus dasar yang digunakan dalam penyelesaian limit trigonometri.
Level Kognitif
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Kesimpulan
Contoh soal limit trigonometri umumnya dapat diselesaikan dengan menguasai beberapa limit dasar dan identitas trigonometri. Rumus yang paling sering digunakan adalah:
lim x→0 (sin x/x) = 1
lim x→0 (tan x/x) = 1
lim x→0 ((1 − cos x)/x²) = 1/2
Selain menghafalkan rumus, penting untuk mampu mengubah bentuk soal agar sesuai dengan limit dasar tersebut. Identitas seperti tan x = sin x/cos x, sin 2x = 2 sin x cos x, dan 1 − cos 2x = 2 sin²x sering digunakan untuk menyederhanakan soal.
Dengan memahami pola dan langkah penyelesaiannya, berbagai soal limit trigonometri dapat dikerjakan dengan lebih cepat dan sistematis.
