Contoh soal kaidah pencacahan membantu memahami cara menentukan banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu situasi. Materi ini menjadi dasar penting dalam peluang, permutasi, dan kombinasi.
Beberapa konsep utama dalam kaidah pencacahan meliputi:
Aturan Penjumlahan: digunakan ketika terdapat beberapa pilihan yang tidak dilakukan secara bersamaan.
Aturan Perkalian: digunakan ketika suatu kegiatan dilakukan melalui beberapa tahap yang saling berurutan.
Faktorial: digunakan untuk menghitung hasil perkalian bilangan positif secara berurutan.
Rumus faktorial:
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1
Rumus permutasi:
P(n,r) = n!/(n-r)!
Rumus kombinasi:
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)
Berikut contoh soal kaidah pencacahan yang disusun dari tingkat mudah hingga sedang.
Soal Nomor 1
Pertanyaan
Sebuah kantin menyediakan 4 jenis makanan dan 3 jenis minuman. Jika seorang siswa memilih 1 makanan dan 1 minuman, berapa banyak pilihan yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 7
B. 10
C. 12
D. 14
E. 16
Jawaban Benar
C. 12
Pembahasan Lengkap
Untuk makanan terdapat 4 pilihan.
Untuk minuman terdapat 3 pilihan.
Karena siswa memilih makanan dan minuman secara bersamaan, gunakan aturan perkalian:
4 × 3 = 12
Jadi, terdapat 12 pilihan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian.
Indikator Pembelajaran
Menentukan banyak pilihan melalui dua tahap kegiatan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 2
Pertanyaan
Ani memiliki 5 baju dan 2 celana yang berbeda. Berapa banyak pasangan pakaian yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12
E. 15
Jawaban Benar
C. 10
Pembahasan Lengkap
Ani memiliki 5 pilihan baju dan setiap baju dapat dipasangkan dengan 2 pilihan celana.
Dengan aturan perkalian:
5 × 2 = 10
Jadi, banyak pasangan pakaian yang dapat dibuat adalah 10 pasangan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak kemungkinan dari dua pilihan yang dilakukan berurutan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 3
Pertanyaan
Sebuah restoran menyediakan 3 jenis nasi, 4 jenis lauk, dan 2 jenis minuman. Jika seseorang memilih satu nasi, satu lauk, dan satu minuman, berapa banyak pilihan menu yang tersedia?
Pilihan Jawaban
A. 9
B. 12
C. 18
D. 24
E. 30
Jawaban Benar
D. 24
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan perkalian:
3 × 4 × 2 = 24
Jadi, terdapat 24 pilihan menu.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian dalam tiga tahap.
Indikator Pembelajaran
Menentukan jumlah kemungkinan dari beberapa pilihan yang dilakukan secara berurutan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 4
Pertanyaan
Hitunglah nilai dari 5!
Pilihan Jawaban
A. 20
B. 60
C. 100
D. 120
E. 150
Jawaban Benar
D. 120
Pembahasan Lengkap
Gunakan rumus faktorial:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5! = 120
Jadi, jawabannya adalah D. 120.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman konsep faktorial.
Indikator Pembelajaran
Menghitung nilai faktorial suatu bilangan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 5
Pertanyaan
Sebuah restoran memiliki 6 jenis makanan utama. Seorang pelanggan hanya memilih satu jenis makanan. Berapa banyak pilihan yang tersedia?
Pilihan Jawaban
A. 3
B. 5
C. 6
D. 12
E. 36
Jawaban Benar
C. 6
Pembahasan Lengkap
Pelanggan hanya memilih satu dari 6 jenis makanan.
Maka banyak pilihan yang tersedia adalah:
6
Jadi, jawabannya adalah C. 6.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman dasar kaidah pencacahan.
Indikator Pembelajaran
Menentukan banyak pilihan dari satu kelompok pilihan.
Level Kognitif
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 6
Pertanyaan
Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibuat bilangan dua digit tanpa pengulangan angka. Berapa banyak bilangan yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
Jawaban Benar
C. 20
Pembahasan Lengkap
Untuk posisi puluhan terdapat 5 pilihan.
Setelah satu angka digunakan, tersisa 4 pilihan untuk posisi satuan.
Dengan aturan perkalian:
5 × 4 = 20
Jadi, terdapat 20 bilangan yang dapat dibuat.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian tanpa pengulangan.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan bilangan dengan angka yang tidak boleh berulang.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 7
Pertanyaan
Dari 4 siswa, akan dipilih satu orang untuk menjadi ketua kelas dan satu orang untuk menjadi wakil ketua. Jika seseorang yang sudah menjadi ketua tidak dapat menjadi wakil, berapa banyak susunan yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
E. 16
Jawaban Benar
D. 12
Pembahasan Lengkap
Untuk posisi ketua terdapat 4 pilihan.
Setelah ketua dipilih, tersisa 3 pilihan untuk posisi wakil.
Maka:
4 × 3 = 12
Jadi, terdapat 12 susunan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian dan urutan pilihan.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan berdasarkan posisi yang berbeda.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 8
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari 4 huruf A, B, C, dan D jika semua huruf digunakan?
Pilihan Jawaban
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
E. 24
Jawaban Benar
E. 24
Pembahasan Lengkap
Karena semua 4 huruf digunakan dan urutan diperhatikan, banyak susunan dapat dihitung dengan faktorial:
4! = 4 × 3 × 2 × 1
4! = 24
Jadi, terdapat 24 susunan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman faktorial dan susunan objek.
Indikator Pembelajaran
Menentukan banyak susunan dari beberapa objek yang berbeda.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 9
Pertanyaan
Sebuah kode terdiri dari 2 huruf dan 2 angka. Jika tersedia 3 huruf dan 4 angka serta semua pilihan dapat digunakan berulang, berapa banyak kode yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 36
B. 72
C. 96
D. 144
E. 196
Jawaban Benar
D. 144
Pembahasan Lengkap
Untuk huruf pertama terdapat 3 pilihan.
Huruf kedua juga memiliki 3 pilihan.
Angka pertama memiliki 4 pilihan.
Angka kedua memiliki 4 pilihan.
Maka:
3 × 3 × 4 × 4 = 144
Jadi, terdapat 144 kode.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian dengan pengulangan.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak kode berdasarkan beberapa posisi pilihan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 10
Pertanyaan
Dari 7 siswa akan dipilih 2 siswa untuk mengikuti lomba. Jika urutan tidak diperhatikan, berapa banyak pasangan siswa yang dapat dipilih?
Pilihan Jawaban
A. 14
B. 21
C. 28
D. 35
E. 42
Jawaban Benar
B. 21
Pembahasan Lengkap
Karena urutan tidak diperhatikan, gunakan kombinasi:
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)
C(7,2) = 7!/(2!5!)
C(7,2) = (7 × 6)/(2 × 1)
C(7,2) = 21
Jadi, terdapat 21 pasangan siswa.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman konsep kombinasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak cara memilih beberapa objek ketika urutan tidak diperhatikan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 11
Pertanyaan
Sebuah restoran menyediakan 5 jenis makanan dan 4 jenis minuman. Jika seseorang hanya memilih satu makanan atau satu minuman, berapa banyak pilihan yang tersedia?
Pilihan Jawaban
A. 9
B. 10
C. 15
D. 20
E. 25
Jawaban Benar
A. 9
Pembahasan Lengkap
Karena pelanggan hanya memilih satu makanan atau satu minuman, gunakan aturan penjumlahan.
5 + 4 = 9
Jadi, terdapat 9 pilihan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan penjumlahan.
Indikator Pembelajaran
Menentukan banyak pilihan dari dua kelompok yang tidak dipilih secara bersamaan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 12
Pertanyaan
Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibuat bilangan tiga angka tanpa pengulangan. Berapa banyak bilangan yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
E. 60
Jawaban Benar
E. 60
Pembahasan Lengkap
Untuk angka pertama terdapat 5 pilihan.
Untuk angka kedua tersisa 4 pilihan.
Untuk angka ketiga tersisa 3 pilihan.
Maka:
5 × 4 × 3 = 60
Jadi, banyak bilangan yang dapat dibuat adalah 60.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan bilangan tanpa pengulangan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 13
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda dari 5 buku yang semuanya berbeda jika seluruh buku disusun berjajar di sebuah rak?
Pilihan Jawaban
A. 25
B. 60
C. 100
D. 120
E. 150
Jawaban Benar
D. 120
Pembahasan Lengkap
Karena semua buku berbeda dan seluruhnya digunakan, gunakan faktorial:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5! = 120
Jadi, terdapat 120 susunan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman konsep faktorial.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan objek yang berbeda.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 14
Pertanyaan
Dari 6 siswa akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Setiap siswa hanya dapat memegang satu jabatan. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 60
B. 90
C. 120
D. 180
E. 240
Jawaban Benar
C. 120
Pembahasan Lengkap
Untuk ketua terdapat 6 pilihan.
Setelah ketua dipilih, tersisa 5 pilihan untuk sekretaris.
Setelah sekretaris dipilih, tersisa 4 pilihan untuk bendahara.
Maka:
6 × 5 × 4 = 120
Jadi, terdapat 120 susunan pengurus.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian.
Indikator Pembelajaran
Menentukan banyak susunan berdasarkan jabatan yang berbeda.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 15
Pertanyaan
Dari 8 siswa akan dipilih 3 siswa untuk menjadi anggota tim. Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan, berapa banyak cara memilih anggota tim tersebut?
Pilihan Jawaban
A. 24
B. 48
C. 56
D. 64
E. 72
Jawaban Benar
C. 56
Pembahasan Lengkap
Karena urutan tidak diperhatikan, gunakan kombinasi:
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)
C(8,3) = 8!/(3!5!)
C(8,3) = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1)
C(8,3) = 56
Jadi, banyak cara memilih anggota tim adalah 56 cara.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman konsep kombinasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak cara memilih beberapa objek tanpa memperhatikan urutan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 16
Pertanyaan
Sebuah kode terdiri dari 3 angka. Angka yang tersedia adalah 1, 2, 3, 4, dan 5. Jika angka boleh digunakan berulang, berapa banyak kode yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100
E. 125
Jawaban Benar
E. 125
Pembahasan Lengkap
Setiap posisi memiliki 5 pilihan karena angka boleh digunakan berulang.
Maka:
5 × 5 × 5 = 125
Jadi, banyak kode yang dapat dibuat adalah 125 kode.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian dengan pengulangan.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan kode ketika setiap pilihan dapat digunakan kembali.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 17
Pertanyaan
Dari 7 orang akan dipilih seorang ketua dan seorang wakil ketua. Berapa banyak cara memilih kedua jabatan tersebut?
Pilihan Jawaban
A. 21
B. 28
C. 35
D. 42
E. 49
Jawaban Benar
D. 42
Pembahasan Lengkap
Untuk ketua terdapat 7 pilihan.
Setelah ketua dipilih, tersisa 6 pilihan untuk wakil ketua.
Maka:
7 × 6 = 42
Jadi, terdapat 42 cara.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian dan urutan.
Indikator Pembelajaran
Menentukan banyak susunan ketika setiap posisi memiliki fungsi berbeda.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 18
Pertanyaan
Sebuah kelas memiliki 10 siswa. Guru akan memilih 2 siswa untuk mengikuti lomba matematika. Jika urutan siswa tidak diperhatikan, berapa banyak cara memilihnya?
Pilihan Jawaban
A. 20
B. 30
C. 40
D. 45
E. 50
Jawaban Benar
D. 45
Pembahasan Lengkap
Karena urutan tidak diperhatikan, gunakan kombinasi:
C(10,2) = 10!/(2!8!)
C(10,2) = (10 × 9)/(2 × 1)
C(10,2) = 45
Jadi, terdapat 45 cara memilih siswa.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman kombinasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak cara memilih dua objek dari sejumlah objek.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 19
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari 4 huruf A, B, C, dan D jika hanya 2 huruf yang digunakan?
Pilihan Jawaban
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 16
Jawaban Benar
D. 12
Pembahasan Lengkap
Karena urutan diperhatikan, gunakan permutasi:
P(n,r) = n!/(n-r)!
P(4,2) = 4!/(4-2)!
P(4,2) = 4!/2!
P(4,2) = 4 × 3
P(4,2) = 12
Jadi, terdapat 12 susunan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman konsep permutasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan sebagian objek dengan memperhatikan urutan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 20
Pertanyaan
Sebuah toko menyediakan 3 jenis topi, 5 jenis kaus, dan 2 jenis celana. Seorang pelanggan memilih satu topi, satu kaus, dan satu celana. Berapa banyak kombinasi pakaian yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
Jawaban Benar
E. 30
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan perkalian:
3 × 5 × 2 = 30
Jadi, terdapat 30 kombinasi pakaian yang dapat dibuat.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak kemungkinan dari tiga kelompok pilihan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 21
Pertanyaan
Berapa banyak cara 6 orang dapat duduk berjajar pada 6 kursi yang tersedia?
Pilihan Jawaban
A. 120
B. 240
C. 360
D. 720
E. 840
Jawaban Benar
D. 720
Pembahasan Lengkap
Karena semua orang berbeda dan seluruh kursi digunakan, gunakan faktorial:
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
6! = 720
Jadi, terdapat 720 cara.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman faktorial dalam kaidah pencacahan.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan objek yang berbeda.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 22
Pertanyaan
Dari 9 siswa akan dipilih 4 siswa untuk mengikuti kegiatan sosial. Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan, berapa banyak cara memilih siswa?
Pilihan Jawaban
A. 84
B. 96
C. 126
D. 144
E. 168
Jawaban Benar
C. 126
Pembahasan Lengkap
Karena urutan tidak diperhatikan, gunakan kombinasi:
C(9,4) = 9!/(4!5!)
C(9,4) = (9 × 8 × 7 × 6)/(4 × 3 × 2 × 1)
C(9,4) = 126
Jadi, terdapat 126 cara.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman konsep kombinasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak cara memilih beberapa objek tanpa memperhatikan urutan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 23
Pertanyaan
Dari angka 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibuat bilangan tiga digit tanpa pengulangan. Berapa banyak bilangan genap yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 24
B. 30
C. 36
D. 40
E. 48
Jawaban Benar
C. 36
Pembahasan Lengkap
Bilangan harus genap, sehingga angka satuannya harus genap.
Angka genap yang tersedia adalah 2, 4, dan 6, sehingga ada 3 pilihan untuk satuan.
Setelah satuan dipilih, terdapat 4 pilihan untuk ratusan dan 3 pilihan untuk puluhan.
Maka:
3 × 4 × 3 = 36
Jadi, terdapat 36 bilangan genap.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian dengan syarat tertentu.
Indikator Pembelajaran
Menentukan banyak bilangan berdasarkan ketentuan angka terakhir.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 24
Pertanyaan
Sebuah password terdiri dari 2 huruf dan 3 angka. Tersedia 4 huruf dan 5 angka. Jika setiap karakter boleh digunakan berulang, berapa banyak password yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 1.000
B. 2.000
C. 4.000
D. 10.000
E. 20.000
Jawaban Benar
D. 10.000
Pembahasan Lengkap
Untuk setiap posisi huruf terdapat 4 pilihan.
Untuk setiap posisi angka terdapat 5 pilihan.
Maka:
4 × 4 × 5 × 5 × 5 = 10.000
Jadi, terdapat 10.000 password yang dapat dibuat.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian dengan pengulangan.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak kemungkinan berdasarkan beberapa posisi karakter.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 25
Pertanyaan
Dari 8 buku yang berbeda akan dipilih 3 buku untuk dibawa saat bepergian. Jika urutan buku tidak diperhatikan, berapa banyak cara memilih buku?
Pilihan Jawaban
A. 24
B. 48
C. 56
D. 64
E. 72
Jawaban Benar
C. 56
Pembahasan Lengkap
Karena urutan tidak diperhatikan, gunakan kombinasi:
C(8,3) = 8!/(3!5!)
C(8,3) = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1)
C(8,3) = 56
Jadi, terdapat 56 cara.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman kombinasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak cara memilih objek tanpa memperhatikan urutan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 26
Pertanyaan
Ada 5 siswa yang akan dipilih untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Setiap posisi hanya dapat ditempati oleh satu siswa. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 15
B. 30
C. 45
D. 60
E. 75
Jawaban Benar
D. 60
Pembahasan Lengkap
Untuk ketua terdapat 5 pilihan.
Untuk wakil ketua tersisa 4 pilihan.
Untuk sekretaris tersisa 3 pilihan.
Maka:
5 × 4 × 3 = 60
Jadi, terdapat 60 susunan pengurus.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan perkalian.
Indikator Pembelajaran
Menentukan banyak susunan ketika setiap posisi memiliki peran berbeda.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 27
Pertanyaan
Sebuah kelas memiliki 12 siswa. Guru akan memilih 3 siswa sebagai perwakilan kelas. Jika urutan tidak diperhatikan, berapa banyak cara memilih perwakilan tersebut?
Pilihan Jawaban
A. 120
B. 180
C. 220
D. 240
E. 360
Jawaban Benar
C. 220
Pembahasan Lengkap
Gunakan kombinasi karena urutan pemilihan tidak diperhatikan:
C(12,3) = 12!/(3!9!)
C(12,3) = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1)
C(12,3) = 220
Jadi, terdapat 220 cara.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman konsep kombinasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak pilihan dari sejumlah objek tanpa memperhatikan urutan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 28
Pertanyaan
Dari 7 orang akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 35
B. 105
C. 140
D. 210
E. 350
Jawaban Benar
B. 210
Pembahasan Lengkap
Karena setiap posisi berbeda, urutan diperhatikan.
Gunakan permutasi:
P(7,3) = 7!/(7-3)!
P(7,3) = 7!/4!
P(7,3) = 7 × 6 × 5
P(7,3) = 210
Jadi, terdapat 210 susunan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman permutasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan objek dengan memperhatikan posisi.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 29
Pertanyaan
Sebuah toko memiliki 4 jenis topi, 3 jenis tas, dan 5 jenis sepatu. Seorang pembeli memilih satu topi, satu tas, atau satu sepatu. Berapa banyak pilihan yang tersedia?
Pilihan Jawaban
A. 10
B. 12
C. 15
D. 20
E. 60
Jawaban Benar
A. 12
Pembahasan Lengkap
Pembeli hanya memilih satu jenis barang, sehingga digunakan aturan penjumlahan:
4 + 3 + 5 = 12
Jadi, terdapat 12 pilihan.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman aturan penjumlahan.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak pilihan dari beberapa kelompok yang tidak dipilih secara bersamaan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 30
Pertanyaan
Dari 10 siswa akan dipilih 2 siswa sebagai ketua dan wakil ketua. Karena jabatan berbeda, urutan pemilihan diperhatikan. Berapa banyak cara memilih kedua siswa tersebut?
Pilihan Jawaban
A. 20
B. 45
C. 80
D. 90
E. 100
Jawaban Benar
D. 90
Pembahasan Lengkap
Karena posisi ketua dan wakil ketua berbeda, gunakan permutasi:
P(10,2) = 10!/(10-2)!
P(10,2) = 10!/8!
P(10,2) = 10 × 9
P(10,2) = 90
Jadi, terdapat 90 cara.
Kompetensi yang Diukur
Pemahaman konsep permutasi.
Indikator Pembelajaran
Menghitung banyak susunan ketika urutan atau posisi diperhatikan.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Kesimpulan
Kaidah pencacahan digunakan untuk menentukan banyak kemungkinan dalam suatu kegiatan atau pemilihan. Konsep ini dapat diterapkan pada berbagai situasi, seperti memilih menu, menyusun benda, membuat kode, memilih anggota kelompok, hingga menentukan susunan jabatan.
Aturan Penjumlahan digunakan ketika pilihan yang tersedia bersifat alternatif atau tidak dilakukan secara bersamaan.
Aturan Perkalian digunakan ketika kegiatan terdiri atas beberapa tahap yang dilakukan secara berurutan.
Faktorial digunakan untuk menghitung susunan seluruh objek yang berbeda.
Rumus Faktorial
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1
Rumus Permutasi
P(n,r) = n!/(n-r)!
Rumus Kombinasi
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)
Perbedaan utama antara permutasi dan kombinasi terletak pada urutan. Pada permutasi, urutan diperhatikan, sedangkan pada kombinasi, urutan tidak diperhatikan.
