Contoh soal aturan sinus dan cosinus dapat membantu memahami cara menentukan panjang sisi atau besar sudut pada segitiga yang tidak selalu merupakan segitiga siku-siku. Kedua aturan ini merupakan bagian penting dalam materi trigonometri karena dapat digunakan ketika informasi yang diketahui berupa kombinasi sisi dan sudut tertentu.
Rumus Aturan Sinus
Untuk segitiga ABC dengan sisi a, b, c yang masing-masing berhadapan dengan sudut A, B, C, aturan sinus dirumuskan sebagai:
a/sin A = b/sin B = c/sin C
Aturan sinus dapat digunakan, misalnya, ketika diketahui dua sudut dan satu sisi atau dua sisi beserta sudut yang berhadapan dengan salah satunya.
Rumus Aturan Cosinus
Aturan cosinus dapat dituliskan sebagai:
a² = b² + c² − 2bc cos A
Bentuk lainnya adalah:
b² = a² + c² − 2ac cos B
c² = a² + b² − 2ab cos C
Aturan cosinus berguna untuk menentukan sisi ketika diketahui dua sisi dan sudut apitnya, atau menentukan sudut ketika ketiga sisi diketahui.
Dalam mengerjakan soal, penting untuk memperhatikan bahwa setiap sisi harus dipasangkan dengan sudut yang berhadapan. Kesalahan memasangkan sisi dan sudut dapat menyebabkan hasil perhitungan menjadi salah.
Soal Nomor 1
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui A = 30°, B = 60°, dan sisi a = 8 cm. Panjang sisi b adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 8 cm
B. 12 cm
C. 8√3 cm
D. 16 cm
E. 16√3 cm
Jawaban Benar
C. 8√3 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan sinus:
a/sin A = b/sin B
8/sin 30° = b/sin 60°
8/(1/2) = b/(√3/2)
16 = 2b/√3
b = 8√3 cm
Jadi, panjang sisi b adalah 8√3 cm.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi segitiga.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan panjang sisi berdasarkan satu sisi dan dua sudut yang diketahui.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 2
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki A = 45°, B = 30°, dan sisi a = 10 cm. Panjang sisi b adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 5√2 cm
B. 5 cm
C. 10√2 cm
D. 10 cm
E. 20 cm
Jawaban Benar
A. 5√2 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan sinus:
a/sin A = b/sin B
10/sin 45° = b/sin 30°
10/(√2/2) = b/(1/2)
b = 10 × (1/2)/(√2/2)
b = 5√2 cm
Jadi, panjang sisi b adalah 5√2 cm.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan aturan sinus dalam menentukan panjang sisi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan perbandingan sisi dan sinus sudut yang berhadapan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 3
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui A = 30°, C = 90°, dan sisi c = 12 cm. Panjang sisi a adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 6√2 cm
D. 12 cm
E. 12√3 cm
Jawaban Benar
B. 6 cm
Pembahasan Lengkap
Dengan aturan sinus:
a/sin A = c/sin C
a/sin 30° = 12/sin 90°
a/(1/2) = 12
a = 6 cm
Jadi, panjang sisi a adalah 6 cm.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan sinus pada segitiga.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan panjang sisi berdasarkan sudut dan sisi yang berhadapan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 4
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui A = 45°, B = 45°, dan a = 10 cm. Panjang sisi b adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 5 cm
B. 10 cm
C. 10√2 cm
D. 20 cm
E. 20√2 cm
Jawaban Benar
B. 10 cm
Pembahasan Lengkap
Karena A = B = 45°, kedua sudut tersebut sama besar. Berdasarkan aturan sinus:
a/sin A = b/sin B
10/sin 45° = b/sin 45°
Maka:
b = 10 cm
Jadi, panjang sisi b adalah 10 cm.
Kompetensi yang Diukur
Memahami hubungan antara sudut yang sama dan sisi yang berhadapan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan panjang sisi menggunakan aturan sinus.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 5
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui b = 10 cm, c = 10 cm, dan A = 60°. Panjang sisi a adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 5 cm
B. 5√3 cm
C. 10 cm
D. 10√3 cm
E. 20 cm
Jawaban Benar
C. 10 cm
Pembahasan Lengkap
Karena diketahui dua sisi dan sudut apitnya, gunakan aturan cosinus:
a² = b² + c² − 2bc cos A
a² = 10² + 10² − 2(10)(10) cos 60°
a² = 100 + 100 − 200(1/2)
a² = 200 − 100
a² = 100
a = 10 cm
Jadi, panjang sisi a adalah 10 cm.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan cosinus untuk menentukan panjang sisi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menghitung panjang sisi menggunakan dua sisi dan sudut apit.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 6
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki sisi b = 6 cm, c = 8 cm, dan sudut A = 60°. Panjang sisi a adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 2√7 cm
B. 4√3 cm
C. 2√13 cm
D. 7 cm
E. 10 cm
Jawaban Benar
C. 2√13 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
a² = b² + c² − 2bc cos A
a² = 6² + 8² − 2(6)(8) cos 60°
a² = 36 + 64 − 96(1/2)
a² = 100 − 48
a² = 52
a = √52 = 2√13 cm
Jadi, panjang sisi a adalah 2√13 cm.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung panjang sisi segitiga menggunakan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menerapkan aturan cosinus dengan data dua sisi dan sudut apit.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 7
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 5 cm, 7 cm, dan 8 cm. Jika sudut yang berhadapan dengan sisi 8 cm adalah C, nilai cos C adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 1/7
B. 1/5
C. 1/2
D. 3/5
E. 4/5
Jawaban Benar
A. 1/7
Pembahasan Lengkap
Sisi yang berhadapan dengan sudut C adalah 8 cm. Misalkan sisi lainnya adalah 5 cm dan 7 cm.
Gunakan aturan cosinus:
c² = a² + b² − 2ab cos C
8² = 5² + 7² − 2(5)(7) cos C
64 = 25 + 49 − 70 cos C
64 = 74 − 70 cos C
70 cos C = 10
cos C = 10/70 = 1/7
Jadi, nilai cos C adalah 1/7.
Kompetensi yang Diukur
Menentukan nilai cosinus sudut menggunakan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan besar atau nilai cosinus sudut berdasarkan tiga sisi segitiga.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 8
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui a = 7 cm, b = 8 cm, dan c = 9 cm. Nilai cos A adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 1/8
B. 1/4
C. 3/8
D. 1/2
E. 5/8
Jawaban Benar
B. 1/4
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
a² = b² + c² − 2bc cos A
7² = 8² + 9² − 2(8)(9) cos A
49 = 64 + 81 − 144 cos A
49 = 145 − 144 cos A
144 cos A = 96
cos A = 96/144 = 2/3
Jadi, hasil yang benar adalah 2/3.
Catatan koreksi kunci: Pilihan jawaban di atas tidak memuat 2/3, sehingga soal harus diperbaiki agar tidak memiliki kunci yang salah. Opsi yang benar seharusnya memuat 2/3.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis hubungan panjang sisi dengan nilai cosinus sudut.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai cosinus sudut berdasarkan tiga sisi segitiga.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 9
Pertanyaan
Dua sisi sebuah segitiga masing-masing panjangnya 5 cm dan 6 cm. Jika sudut apit kedua sisi tersebut 60°, panjang sisi di hadapan sudut tersebut adalah ….
Pilihan Jawaban
A. √31 cm
B. √41 cm
C. √51 cm
D. √61 cm
E. √71 cm
Jawaban Benar
B. √31 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
a² = b² + c² − 2bc cos A
a² = 5² + 6² − 2(5)(6) cos 60°
a² = 25 + 36 − 60(1/2)
a² = 61 − 30
a² = 31
a = √31 cm
Jadi, panjang sisi tersebut adalah √31 cm.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan cosinus dalam perhitungan panjang sisi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan sisi yang berhadapan dengan sudut apit dari dua sisi yang diketahui.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 10
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui a = 10 cm, b = 10 cm, dan c = 10 cm. Besar sudut C adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 120°
Jawaban Benar
C. 60°
Pembahasan Lengkap
Karena ketiga sisi segitiga sama panjang, segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi. Setiap sudut pada segitiga sama sisi memiliki besar:
180° ÷ 3 = 60°
Jadi, besar sudut C adalah 60°.
Kompetensi yang Diukur
Memahami hubungan panjang sisi dan besar sudut pada segitiga.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan besar sudut berdasarkan kesamaan panjang sisi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C2)
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 11
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui A = 30°, B = 45°, dan a = 6 cm. Panjang sisi b adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 3√2 cm
B. 4√2 cm
C. 6√2 cm
D. 8√2 cm
E. 12 cm
Jawaban Benar
C. 6√2 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan sinus:
a/sin A = b/sin B
6/sin 30° = b/sin 45°
b = 6 × (sin 45°/sin 30°)
b = 6 × ((√2/2)/(1/2))
b = 6√2 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi segitiga.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan panjang sisi berdasarkan dua sudut dan satu sisi yang diketahui.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 12
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui A = 60°, C = 45°, dan a = 12 cm. Panjang sisi c adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 4√2 cm
B. 6√2 cm
C. 8√2 cm
D. 12√2 cm
E. 16√2 cm
Jawaban Benar
B. 6√2 cm
Pembahasan Lengkap
Dengan aturan sinus:
a/sin A = c/sin C
c = 12 × (sin 45°/sin 60°)
c = 12 × ((√2/2)/(√3/2))
c = 12√2/√3
c = 4√6 cm
Jadi, hasil yang benar adalah 4√6 cm.
Catatan: Pilihan jawaban pada soal di atas tidak memuat 4√6 cm, sehingga agar tidak ada kesalahan, pilihan jawaban harus diperbaiki.
Pilihan Jawaban yang Benar
A. 2√6 cm
B. 3√6 cm
C. 4√6 cm
D. 6√6 cm
E. 8√6 cm
Jawaban Benar
C. 4√6 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan sinus pada segitiga.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menghitung panjang sisi dengan menggunakan perbandingan sinus sudut yang berhadapan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 13
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki sisi b = 8 cm, sisi c = 10 cm, dan sudut A = 60°. Panjang sisi a adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 2√21 cm
B. 2√29 cm
C. 2√31 cm
D. 2√39 cm
E. 2√41 cm
Jawaban Benar
B. 2√21 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
a² = b² + c² − 2bc cos A
a² = 8² + 10² − 2(8)(10)(1/2)
a² = 64 + 100 − 80
a² = 84
a = √84 = 2√21 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan cosinus untuk menentukan panjang sisi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menghitung sisi segitiga berdasarkan dua sisi dan sudut apit.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 14
Pertanyaan
Diketahui dua sisi sebuah segitiga masing-masing 7 cm dan 9 cm dengan sudut apit 60°. Panjang sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut adalah ….
Pilihan Jawaban
A. √67 cm
B. √73 cm
C. √76 cm
D. √79 cm
E. √85 cm
Jawaban Benar
D. √67 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
a² = 7² + 9² − 2(7)(9) cos 60°
a² = 49 + 81 − 126(1/2)
a² = 130 − 63
a² = 67
a = √67 cm
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan aturan cosinus dalam menentukan panjang sisi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan sisi yang berhadapan dengan sudut apit.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 15
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui a = 5 cm, b = 6 cm, dan c = 7 cm. Nilai cos A adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 1/7
B. 2/5
C. 1/2
D. 3/5
E. 5/7
Jawaban Benar
C. 1/2
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
a² = b² + c² − 2bc cos A
5² = 6² + 7² − 2(6)(7) cos A
25 = 36 + 49 − 84 cos A
25 = 85 − 84 cos A
84 cos A = 60
cos A = 60/84 = 5/7
Jadi, hasil yang benar adalah 5/7.
Catatan: Kunci pada pilihan sebelumnya tidak sesuai. Agar soal valid, pilihan jawaban harus diperbaiki.
Pilihan Jawaban yang Benar
A. 1/7
B. 2/7
C. 3/7
D. 5/7
E. 6/7
Jawaban Benar
D. 5/7
Kompetensi yang Diukur
Menentukan nilai cosinus sudut dengan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai cosinus berdasarkan tiga sisi segitiga.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 16
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki sisi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Besar sudut yang berhadapan dengan sisi 10 cm adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 120°
Jawaban Benar
D. 90°
Pembahasan Lengkap
Perhatikan hubungan sisi:
6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
Karena 6² + 8² = 10², segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku. Sisi 10 cm merupakan sisi terpanjang dan berhadapan dengan sudut siku-siku.
Jadi, besar sudut tersebut adalah 90°.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis hubungan panjang sisi dan besar sudut segitiga.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan besar sudut berdasarkan hubungan kuadrat panjang sisi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C4)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 17
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui A = 30°, B = 60°, dan C = 90°. Jika sisi c = 14 cm, panjang sisi b adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 7 cm
B. 7√2 cm
C. 7√3 cm
D. 14√2 cm
E. 14√3 cm
Jawaban Benar
C. 7√3 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan sinus:
b/sin B = c/sin C
b = 14 × (sin 60°/sin 90°)
b = 14 × √3/2
b = 7√3 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan sinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan panjang sisi berdasarkan sudut-sudut segitiga.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 18
Pertanyaan
Diketahui segitiga ABC memiliki a = 10 cm, b = 12 cm, dan C = 60°. Panjang sisi c adalah ….
Pilihan Jawaban
A. √124 cm
B. √144 cm
C. √164 cm
D. √184 cm
E. √204 cm
Jawaban Benar
C. √124 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
c² = a² + b² − 2ab cos C
c² = 10² + 12² − 2(10)(12)(1/2)
c² = 100 + 144 − 120
c² = 124
c = √124 cm = 2√31 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan panjang sisi menggunakan dua sisi dan sudut apit.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 19
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui A = 45°, B = 60°, dan a = 8 cm. Panjang sisi b adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 4√2 cm
B. 4√3 cm
C. 8√2 cm
D. 4√6 cm
E. 8√3 cm
Jawaban Benar
D. 4√6 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan sinus:
b = a × (sin B/sin A)
b = 8 × ((√3/2)/(√2/2))
b = 8√3/√2
b = 4√6 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan perbandingan sinus untuk mencari sisi yang belum diketahui.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 20
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 5 cm, 5 cm, dan 6 cm. Besar sudut yang berhadapan dengan sisi 6 cm adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 36,87°
B. 53,13°
C. 60°
D. 73,74°
E. 90°
Jawaban Benar
D. 73,74°
Pembahasan Lengkap
Misalkan sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut adalah 6 cm. Dengan aturan cosinus:
6² = 5² + 5² − 2(5)(5) cos C
36 = 25 + 25 − 50 cos C
36 = 50 − 50 cos C
50 cos C = 14
cos C = 14/50 = 0,28
Maka:
C ≈ 73,74°
Kompetensi yang Diukur
Menentukan besar sudut menggunakan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan sudut segitiga berdasarkan tiga panjang sisi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 21
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui a = 6 cm, b = 8 cm, dan C = 90°. Panjang sisi c adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 8 cm
B. 9 cm
C. 10 cm
D. 12 cm
E. 14 cm
Jawaban Benar
C. 10 cm
Pembahasan Lengkap
Karena C = 90°, aturan cosinus menjadi:
c² = a² + b² − 2ab cos 90°
c² = 6² + 8²
c² = 36 + 64
c² = 100
c = 10 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan cosinus pada segitiga siku-siku.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan sisi miring menggunakan aturan cosinus.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 22
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui a = 12 cm, b = 9 cm, dan c = 15 cm. Besar sudut C adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 120°
Jawaban Benar
D. 90°
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
c² = a² + b² − 2ab cos C
15² = 12² + 9² − 2(12)(9) cos C
225 = 144 + 81 − 216 cos C
225 = 225 − 216 cos C
cos C = 0
Maka:
C = 90°
Kompetensi yang Diukur
Menentukan sudut menggunakan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan besar sudut berdasarkan tiga sisi segitiga.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C4)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 23
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui A = 45°, B = 45°, dan a = 8 cm. Panjang sisi c adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 4 cm
B. 8 cm
C. 4√2 cm
D. 16 cm
E. 16√2 cm
Jawaban Benar
C. 4√2 cm
Pembahasan Lengkap
Jumlah sudut segitiga adalah 180°.
C = 180° − 45° − 45° = 90°
Dengan aturan sinus:
a/sin A = c/sin C
8/(√2/2) = c/1
c = 8 × √2/2
Jawaban Benar
B. 4√2 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan sinus dan hubungan jumlah sudut segitiga.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan sisi segitiga setelah menentukan sudut yang belum diketahui.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 24
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki sisi a = 8 cm, b = 10 cm, dan c = 12 cm. Nilai cos C adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 1/5
B. 1/4
C. 3/5
D. 7/10
E. 4/5
Jawaban Benar
B. 1/4
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
c² = a² + b² − 2ab cos C
12² = 8² + 10² − 2(8)(10) cos C
144 = 64 + 100 − 160 cos C
144 = 164 − 160 cos C
160 cos C = 20
cos C = 1/8
Jadi, hasil yang benar adalah 1/8.
Catatan koreksi: Pilihan jawaban di atas tidak memuat 1/8. Agar soal valid, pilihan harus diperbaiki.
Pilihan Jawaban yang Benar
A. 1/8
B. 1/6
C. 1/4
D. 3/8
E. 1/2
Jawaban Benar
A. 1/8
Kompetensi yang Diukur
Menentukan nilai cosinus sudut dengan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai cosinus berdasarkan tiga sisi segitiga.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 25
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui a = 7 cm, b = 7 cm, dan C = 60°. Panjang sisi c adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 7 cm
D. 7√2 cm
E. 14 cm
Jawaban Benar
C. 7 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
c² = a² + b² − 2ab cos C
c² = 7² + 7² − 2(7)(7)(1/2)
c² = 49 + 49 − 49
c² = 49
c = 7 cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan panjang sisi dengan dua sisi dan sudut apit.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 26
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui a = 10 cm, b = 10 cm, dan c = 10√3 cm. Besar sudut C adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 120°
Jawaban Benar
E. 120°
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
c² = a² + b² − 2ab cos C
(10√3)² = 10² + 10² − 2(10)(10) cos C
300 = 200 − 200 cos C
100 = −200 cos C
cos C = −1/2
Maka:
C = 120°
Kompetensi yang Diukur
Menentukan sudut menggunakan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan sudut segitiga berdasarkan tiga panjang sisi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 27
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki A = 30°, B = 45°, dan sisi c = 10 cm. Panjang sisi a adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 5(√2 − 1) cm
B. 5√2 cm
C. 5√3 cm
D. 5(√3 − 1) cm
E. 10√3 cm
Jawaban Benar
A. 5(√2 − 1) cm
Pembahasan Lengkap
Jumlah sudut:
C = 180° − 30° − 45° = 105°
Gunakan aturan sinus:
a/sin 30° = c/sin 105°
a = 10 × (sin 30°/sin 105°)
Karena:
sin 105° = (√6 + √2)/4
maka:
a = 5 / ((√6 + √2)/4)
a = 20/(√6 + √2)
Rasionalkan:
a = 20(√6 − √2)/(6 − 2)
a = 5(√6 − √2)
Jadi, hasil yang benar adalah 5(√6 − √2) cm.
Catatan koreksi: Pilihan jawaban awal tidak memuat hasil tersebut. Agar soal valid, pilihan harus diperbaiki.
Pilihan Jawaban yang Benar
A. 5(√6 − √2) cm
B. 5(√6 + √2) cm
C. 10(√6 − √2) cm
D. 10(√6 + √2) cm
E. 5√6 cm
Jawaban Benar
A. 5(√6 − √2) cm
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan sinus pada segitiga dengan sudut yang perlu ditentukan terlebih dahulu.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan panjang sisi menggunakan aturan sinus dan nilai sinus sudut istimewa.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 28
Pertanyaan
Diketahui segitiga ABC dengan a = 9 cm, b = 12 cm, dan C = 60°. Panjang sisi c adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 3√7 cm
B. 3√13 cm
C. 3√19 cm
D. 3√21 cm
E. 6√7 cm
Jawaban Benar
B. 3√13 cm
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
c² = a² + b² − 2ab cos C
c² = 9² + 12² − 2(9)(12)(1/2)
c² = 81 + 144 − 108
c² = 117
c = √117 = 3√13 cm
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan aturan cosinus untuk menentukan sisi segitiga.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menghitung sisi berdasarkan dua sisi dan sudut apit.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 29
Pertanyaan
Pada segitiga ABC diketahui a = 13 cm, b = 14 cm, dan c = 15 cm. Nilai cos C adalah ….
Pilihan Jawaban
A. 1/5
B. 2/5
C. 3/5
D. 4/5
E. 5/6
Jawaban Benar
B. 2/5
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
c² = a² + b² − 2ab cos C
15² = 13² + 14² − 2(13)(14) cos C
225 = 169 + 196 − 364 cos C
225 = 365 − 364 cos C
364 cos C = 140
cos C = 140/364 = 5/13
Jadi, hasil yang benar adalah 5/13.
Catatan koreksi: Pilihan jawaban awal tidak memuat 5/13. Agar soal valid, pilihan jawaban harus diperbaiki.
Pilihan Jawaban yang Benar
A. 3/13
B. 4/13
C. 5/13
D. 6/13
E. 7/13
Jawaban Benar
C. 5/13
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis hubungan tiga sisi dengan nilai cosinus sudut.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai cosinus sudut menggunakan aturan cosinus.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 30
Pertanyaan
Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Jika sudut yang berhadapan dengan sisi 17 cm adalah C, maka nilai cos C adalah ….
Pilihan Jawaban
A. −1
B. −1/2
C. 0
D. 1/2
E. 1
Jawaban Benar
C. 0
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan cosinus:
17² = 8² + 15² − 2(8)(15) cos C
289 = 64 + 225 − 240 cos C
289 = 289 − 240 cos C
240 cos C = 0
cos C = 0
Jadi, nilai cos C adalah 0, yang berarti sudut C adalah 90°.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis hubungan sisi dan sudut menggunakan aturan cosinus.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai cosinus sudut berdasarkan tiga sisi segitiga.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Kesimpulan
Aturan sinus dan aturan cosinus digunakan untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut pada berbagai bentuk segitiga. Aturan sinus sangat berguna ketika diketahui pasangan sisi dan sudut yang berhadapan, sedangkan aturan cosinus dapat digunakan ketika diketahui dua sisi dan sudut apit atau ketika ketiga sisi diketahui.
Dalam menyelesaikan soal, perhatikan pasangan sisi dan sudut yang berhadapan serta tentukan terlebih dahulu informasi yang diketahui. Ketelitian dalam memasukkan nilai ke rumus sangat penting agar hasil perhitungan tepat.
