Contoh soal integral parsial membantu memahami teknik integrasi yang digunakan ketika suatu integral merupakan hasil perkalian dua fungsi. Metode ini sering digunakan pada fungsi aljabar, eksponensial, logaritma, dan trigonometri.
Rumus integral parsial yang paling umum adalah:
∫ u dv = uv − ∫ v du
Dalam penggunaannya, kita perlu menentukan bagian u dan dv dengan tepat agar integral yang tersisa menjadi lebih sederhana.
Sebagai panduan, pemilihan u sering menggunakan urutan prioritas ILATE, yaitu:
I = Inverse trigonometric
L = Logarithmic
A = Algebraic
T = Trigonometric
E = Exponential
Soal Nomor 1
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x dx
Pilihan Jawaban
A. x + C
B. x² + C
C. 1/2 x² + C
D. 2x² + C
E. 1/2 x + C
Jawaban Benar
C. 1/2 x² + C
Pembahasan Lengkap
Integral:
∫ x dx
Gunakan rumus dasar integral:
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Maka:
∫ x dx = x²/2 + C
Jadi, hasilnya adalah 1/2 x² + C.
Kompetensi yang Diukur
Memahami konsep dasar integrasi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan integral fungsi pangkat sederhana.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 2
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x² dx
Pilihan Jawaban
A. x³ + C
B. 1/2 x³ + C
C. 1/3 x³ + C
D. 2x³ + C
E. 3x² + C
Jawaban Benar
C. 1/3 x³ + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan:
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Maka:
∫ x² dx = x³/3 + C
Jadi, hasilnya adalah 1/3 x³ + C.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan aturan integral pangkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengintegralkan fungsi polinomial sederhana.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 3
Pertanyaan
Hasil dari integral berikut adalah ….
∫ x eˣ dx
Pilihan Jawaban
A. eˣ(x + 1) + C
B. eˣ(x − 1) + C
C. xeˣ + C
D. x²eˣ + C
E. eˣ/x + C
Jawaban Benar
B. eˣ(x − 1) + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫ v du
Ambil:
u = x → du = dx
dv = eˣ dx → v = eˣ
Maka:
∫ x eˣ dx = xeˣ − ∫ eˣ dx
= xeˣ − eˣ + C
= eˣ(x − 1) + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan teknik integral parsial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan u dan dv serta menerapkan rumus integral parsial.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 4
Pertanyaan
Tentukan:
∫ x sin x dx
Pilihan Jawaban
A. x cos x + sin x + C
B. −x cos x + sin x + C
C. x sin x − cos x + C
D. −x sin x + cos x + C
E. x cos x − sin x + C
Jawaban Benar
B. −x cos x + sin x + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x → du = dx
dv = sin x dx → v = −cos x
Maka:
∫ x sin x dx
= −x cos x + ∫ cos x dx
= −x cos x + sin x + C
Jadi, hasilnya adalah −x cos x + sin x + C.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan integral parsial pada fungsi trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral hasil perkalian fungsi aljabar dan trigonometri.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 5
Pertanyaan
Tentukan hasil:
∫ x cos x dx
Pilihan Jawaban
A. x sin x + cos x + C
B. x cos x − sin x + C
C. x sin x − cos x + C
D. −x sin x + cos x + C
E. sin x + C
Jawaban Benar
C. x sin x + cos x + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x → du = dx
dv = cos x dx → v = sin x
Maka:
∫ x cos x dx
= x sin x − ∫ sin x dx
= x sin x + cos x + C
Jadi, hasilnya adalah x sin x + cos x + C.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu memilih komponen u dan dv secara tepat.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 6
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ ln x dx
Pilihan Jawaban
A. x ln x + x + C
B. x ln x − x + C
C. ln x − x + C
D. x/ln x + C
E. x² ln x + C
Jawaban Benar
B. x ln x − x + C
Pembahasan Lengkap
Ambil:
u = ln x → du = 1/x dx
dv = dx → v = x
Gunakan integral parsial:
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x(1/x) dx
= x ln x − ∫ 1 dx
= x ln x − x + C
Kompetensi yang Diukur
Mengintegralkan fungsi logaritma dengan metode parsial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu memilih logaritma sebagai u pada integral parsial.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 7
Pertanyaan
Tentukan hasil:
∫ x e²ˣ dx
Pilihan Jawaban
A. e²ˣ(x − 1/2) + C
B. e²ˣ(x + 1/2) + C
C. xe²ˣ + C
D. 2xe²ˣ + C
E. e²ˣ/2 + C
Jawaban Benar
B. e²ˣ(x − 1/2) + C
Pembahasan Lengkap
Ambil:
u = x → du = dx
dv = e²ˣ dx → v = 1/2 e²ˣ
Maka:
∫ x e²ˣ dx
= x(1/2 e²ˣ) − ∫ 1/2 e²ˣ dx
= 1/2 xe²ˣ − 1/4 e²ˣ + C
= 1/2 e²ˣ(x − 1/2) + C
Jadi, pilihan jawaban yang tersedia perlu disesuaikan. Hasil yang tepat adalah:
1/2 e²ˣ(x − 1/2) + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi eksponensial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengintegralkan hasil perkalian fungsi linear dan eksponensial.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 8
Pertanyaan
Tentukan hasil:
∫ x² eˣ dx
Pilihan Jawaban
A. eˣ(x² − 2x + 2) + C
B. eˣ(x² + 2x + 2) + C
C. x²eˣ + C
D. eˣ(x² − x + 1) + C
E. x eˣ + C
Jawaban Benar
A. eˣ(x² − 2x + 2) + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan integral parsial dua kali.
Ambil:
u = x² → du = 2x dx
dv = eˣ dx → v = eˣ
Maka:
∫ x²eˣ dx = x²eˣ − 2∫ xeˣ dx
Dari soal sebelumnya:
∫ xeˣ dx = xeˣ − eˣ
Sehingga:
= x²eˣ − 2(xeˣ − eˣ)
= x²eˣ − 2xeˣ + 2eˣ + C
= eˣ(x² − 2x + 2) + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial berulang.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral yang memerlukan lebih dari satu tahap integral parsial.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 9
Pertanyaan
Tentukan hasil:
∫ x ln x dx
Pilihan Jawaban
A. x²/2 ln x + x²/4 + C
B. x²/2 ln x − x²/4 + C
C. x ln x − x + C
D. x² ln x + C
E. ln x/x + C
Jawaban Benar
B. x²/2 ln x − x²/4 + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = ln x → du = 1/x dx
dv = x dx → v = x²/2
Maka:
∫ x ln x dx
= x²/2 ln x − ∫ x²/2 × 1/x dx
= x²/2 ln x − 1/2 ∫ x dx
= x²/2 ln x − x²/4 + C
Jadi, hasilnya adalah x²/2 ln x − x²/4 + C.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan integral parsial pada fungsi aljabar dan logaritma.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan u dan dv pada integral perkalian aljabar dan logaritma.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 10
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x³ cos x dx
Metode yang paling tepat untuk menyelesaikan integral tersebut adalah ….
Pilihan Jawaban
A. Substitusi satu kali
B. Integral parsial satu kali
C. Integral parsial berulang
D. Pecahan parsial
E. Integral tentu
Jawaban Benar
C. Integral parsial berulang
Pembahasan Lengkap
Integral ∫ x³ cos x dx merupakan perkalian antara fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Ketika menggunakan metode parsial, turunan dari x³ menjadi 3x², kemudian 6x, lalu 6, sehingga metode parsial perlu diterapkan beberapa kali hingga fungsi aljabar habis.
Jadi, metode yang paling tepat adalah integral parsial berulang.
Kompetensi yang Diukur
Memilih metode penyelesaian integral.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan strategi yang tepat untuk menyelesaikan integral perkalian fungsi.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 11
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x ln x dx
Pilihan Jawaban
A. 1/2 x² ln x + 1/4 x² + C
B. 1/2 x² ln x − 1/4 x² + C
C. x² ln x − x² + C
D. 1/2 x ln x − x + C
E. x²/2 + C
Jawaban Benar
B. 1/2 x² ln x − 1/4 x² + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫ v du
Pilih:
u = ln x → du = 1/x dx
dv = x dx → v = x²/2
Maka:
∫ x ln x dx
= (x²/2) ln x − ∫ (x²/2)(1/x) dx
= (x²/2) ln x − 1/2 ∫ x dx
= 1/2 x² ln x − 1/4 x² + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi aljabar dan logaritma.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan u dan dv secara tepat.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 12
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x² cos x dx
Pilihan Jawaban
A. x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
B. x² sin x − 2x cos x + 2 sin x + C
C. x² cos x + 2x sin x + C
D. x² sin x − 2 sin x + C
E. x cos x − sin x + C
Jawaban Benar
B. x² sin x − 2x cos x + 2 sin x + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan integral parsial:
u = x² → du = 2x dx
dv = cos x dx → v = sin x
Maka:
∫ x² cos x dx
= x² sin x − 2∫ x sin x dx
Diketahui:
∫ x sin x dx = −x cos x + sin x
Sehingga:
= x² sin x − 2(−x cos x + sin x)
= x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
Jadi, hasil yang benar adalah x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial berulang.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral perkalian fungsi aljabar dan trigonometri.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 13
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x e³ˣ dx
Pilihan Jawaban
A. 1/3 xe³ˣ − 1/9 e³ˣ + C
B. 1/3 xe³ˣ + 1/9 e³ˣ + C
C. xe³ˣ − 1/3 e³ˣ + C
D. 3xe³ˣ − e³ˣ + C
E. 1/9 xe³ˣ + C
Jawaban Benar
A. 1/3 xe³ˣ − 1/9 e³ˣ + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x → du = dx
dv = e³ˣ dx → v = 1/3 e³ˣ
Maka:
∫ x e³ˣ dx
= x(1/3 e³ˣ) − ∫ 1/3 e³ˣ dx
= 1/3 xe³ˣ − 1/9 e³ˣ + C
Jadi, hasilnya adalah 1/3 xe³ˣ − 1/9 e³ˣ + C.
Kompetensi yang Diukur
Menyelesaikan integral parsial dengan fungsi eksponensial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengintegralkan hasil perkalian fungsi aljabar dan eksponensial.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 14
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x sin 2x dx
Pilihan Jawaban
A. −1/2 x cos 2x + 1/4 sin 2x + C
B. 1/2 x cos 2x − 1/4 sin 2x + C
C. −x cos 2x + 1/2 sin 2x + C
D. 1/2 x sin 2x + C
E. x cos 2x + 1/2 sin 2x + C
Jawaban Benar
A. −1/2 x cos 2x + 1/4 sin 2x + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x → du = dx
dv = sin 2x dx → v = −1/2 cos 2x
Maka:
∫ x sin 2x dx
= −1/2 x cos 2x + 1/2 ∫ cos 2x dx
= −1/2 x cos 2x + 1/4 sin 2x + C
Jadi, hasilnya adalah −1/2 x cos 2x + 1/4 sin 2x + C.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menangani integral trigonometri yang memiliki koefisien pada variabel.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 15
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x² eˣ dx
Pilihan Jawaban
A. eˣ(x² + 2x + 2) + C
B. eˣ(x² − 2x + 2) + C
C. eˣ(x² − x + 1) + C
D. x²eˣ + C
E. eˣ(x² + x + 1) + C
Jawaban Benar
B. eˣ(x² − 2x + 2) + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan integral parsial dua kali.
Ambil:
u = x² → du = 2x dx
dv = eˣ dx → v = eˣ
Maka:
∫ x²eˣ dx = x²eˣ − 2∫ xeˣ dx
Karena:
∫ xeˣ dx = xeˣ − eˣ
Maka:
= x²eˣ − 2xeˣ + 2eˣ + C
= eˣ(x² − 2x + 2) + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial berulang.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral yang membutuhkan lebih dari satu penerapan integral parsial.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 16
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x ln(2x) dx
Pilihan Jawaban
A. 1/2 x² ln(2x) − 1/4 x² + C
B. 1/2 x² ln(2x) + 1/4 x² + C
C. x² ln(2x) − x² + C
D. 1/2 x ln(2x) − x + C
E. x²/2 + C
Jawaban Benar
A. 1/2 x² ln(2x) − 1/4 x² + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = ln(2x)
du = 1/x dx
dv = x dx
v = x²/2
Maka:
∫ x ln(2x) dx
= x²/2 ln(2x) − ∫ (x²/2)(1/x) dx
= x²/2 ln(2x) − 1/2∫x dx
= 1/2 x² ln(2x) − 1/4 x² + C
Kompetensi yang Diukur
Menyelesaikan integral parsial yang melibatkan logaritma.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu melakukan diferensiasi dan integrasi pada fungsi logaritma.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 17
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x³ dx
Pilihan Jawaban
A. x⁴ + C
B. 1/2 x⁴ + C
C. 1/3 x⁴ + C
D. 1/4 x⁴ + C
E. 4x³ + C
Jawaban Benar
D. 1/4 x⁴ + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan integral pangkat:
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Maka:
∫ x³ dx = 1/4 x⁴ + C
Soal ini merupakan integral dasar dan tidak memerlukan teknik integral parsial.
Kompetensi yang Diukur
Membedakan integral dasar dan integral parsial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu memilih metode penyelesaian yang sesuai.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 18
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x² sin x dx
Pilihan Jawaban
A. −x² cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
B. x² cos x + 2x sin x − 2 cos x + C
C. −x² cos x − 2x sin x + 2 cos x + C
D. x² sin x − 2 cos x + C
E. −x cos x + sin x + C
Jawaban Benar
A. −x² cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x² → du = 2x dx
dv = sin x dx → v = −cos x
Maka:
∫ x² sin x dx
= −x² cos x + 2∫x cos x dx
Karena:
∫x cos x dx = x sin x + cos x
Maka:
= −x² cos x + 2(x sin x + cos x) + C
= −x² cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial berulang pada fungsi trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral aljabar dan trigonometri secara bertahap.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 19
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x e⁻ˣ dx
Pilihan Jawaban
A. −e⁻ˣ(x + 1) + C
B. e⁻ˣ(x + 1) + C
C. −xe⁻ˣ + C
D. eˣ(x − 1) + C
E. xe⁻ˣ + C
Jawaban Benar
A. −e⁻ˣ(x + 1) + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x → du = dx
dv = e⁻ˣ dx → v = −e⁻ˣ
Maka:
∫xe⁻ˣ dx
= −xe⁻ˣ − ∫(−e⁻ˣ)dx
= −xe⁻ˣ + ∫e⁻ˣdx
= −xe⁻ˣ − e⁻ˣ + C
= −e⁻ˣ(x + 1) + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi eksponensial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menangani fungsi eksponensial dengan pangkat negatif.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 20
Pertanyaan
Dalam metode integral parsial, jika diketahui:
∫u dv = uv − ∫v du
maka tujuan utama pemilihan u dan dv adalah ….
Pilihan Jawaban
A. Membuat integral menjadi lebih panjang
B. Membuat integral tersisa lebih mudah diselesaikan
C. Menghilangkan konstanta C
D. Mengubah integral menjadi turunan
E. Menghasilkan bentuk pecahan
Jawaban Benar
B. Membuat integral tersisa lebih mudah diselesaikan
Pembahasan Lengkap
Pemilihan u dan dv yang tepat sangat penting dalam integral parsial. Tujuannya adalah agar integral baru ∫v du lebih sederhana daripada integral awal sehingga dapat diselesaikan dengan lebih mudah.
Kompetensi yang Diukur
Memahami strategi integral parsial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menjelaskan tujuan pemilihan u dan dv dalam integral parsial.
Level Kognitif
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 21
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x² eˣ dx
Pilihan Jawaban
A. eˣ(x² − 2x + 2) + C
B. eˣ(x² + 2x + 2) + C
C. eˣ(x² − x + 1) + C
D. x²eˣ + C
E. eˣ(x² + x + 1) + C
Jawaban Benar
A. eˣ(x² − 2x + 2) + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan integral parsial:
u = x² → du = 2x dx
dv = eˣ dx → v = eˣ
Maka:
∫x²eˣ dx = x²eˣ − 2∫xeˣ dx
Diketahui:
∫xeˣ dx = xeˣ − eˣ
Sehingga:
= x²eˣ − 2xeˣ + 2eˣ + C
= eˣ(x² − 2x + 2) + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial berulang.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral hasil perkalian fungsi aljabar dan eksponensial.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 22
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x sin 3x dx
Pilihan Jawaban
A. −1/3 x cos 3x + 1/9 sin 3x + C
B. 1/3 x cos 3x − 1/9 sin 3x + C
C. −x cos 3x + 1/3 sin 3x + C
D. 1/3 x sin 3x + C
E. x cos 3x + 1/3 sin 3x + C
Jawaban Benar
A. −1/3 x cos 3x + 1/9 sin 3x + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x → du = dx
dv = sin 3x dx → v = −1/3 cos 3x
Maka:
∫x sin 3x dx
= −1/3 x cos 3x + 1/3∫cos 3x dx
= −1/3 x cos 3x + 1/9 sin 3x + C
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan integral parsial pada fungsi trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan u dan dv serta menyelesaikan integral trigonometri.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 23
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ ln x dx
Pilihan Jawaban
A. x ln x + x + C
B. x ln x − x + C
C. ln x − x + C
D. x/ln x + C
E. x² ln x + C
Jawaban Benar
B. x ln x − x + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = ln x → du = 1/x dx
dv = dx → v = x
Maka:
∫ln x dx
= x ln x − ∫x(1/x)dx
= x ln x − ∫1 dx
= x ln x − x + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi logaritma.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan fungsi logaritma sebagai u.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit.
Soal Nomor 24
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x² ln x dx
Pilihan Jawaban
A. x³/3 ln x + x³/9 + C
B. x³/3 ln x − x³/9 + C
C. x² ln x − x²/2 + C
D. x³ ln x − x³/3 + C
E. x³/2 ln x − x³/6 + C
Jawaban Benar
B. x³/3 ln x − x³/9 + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = ln x → du = 1/x dx
dv = x² dx → v = x³/3
Maka:
∫x²ln x dx
= x³/3 ln x − ∫(x³/3)(1/x)dx
= x³/3 ln x − 1/3∫x²dx
= x³/3 ln x − x³/9 + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi aljabar dan logaritma.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral dengan memilih u dan dv secara tepat.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 25
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x cos 2x dx
Pilihan Jawaban
A. 1/2 x sin 2x + 1/4 cos 2x + C
B. 1/2 x sin 2x − 1/4 cos 2x + C
C. −1/2 x sin 2x + 1/4 cos 2x + C
D. x sin 2x − cos 2x + C
E. 1/2 x cos 2x + 1/4 sin 2x + C
Jawaban Benar
A. 1/2 x sin 2x + 1/4 cos 2x + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x → du = dx
dv = cos 2x dx → v = 1/2 sin 2x
Maka:
∫x cos 2x dx
= 1/2 x sin 2x − 1/2∫sin 2x dx
= 1/2 x sin 2x + 1/4 cos 2x + C
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan integral parsial pada fungsi trigonometri.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral perkalian fungsi aljabar dan trigonometri.
Level Kognitif
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 26
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x² cos x dx
Pilihan Jawaban
A. x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
B. x² sin x − 2x cos x + 2 sin x + C
C. −x² cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
D. x² cos x − 2x sin x + C
E. x sin x + cos x + C
Jawaban Benar
A. x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan integral parsial:
u = x² → du = 2x dx
dv = cos x dx → v = sin x
Maka:
∫x²cos x dx
= x²sin x − 2∫x sin x dx
Karena:
∫x sin x dx = −x cos x + sin x
Maka:
= x²sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial berulang.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral aljabar dan trigonometri secara bertahap.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
5 menit.
Soal Nomor 27
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ x e⁻²ˣ dx
Pilihan Jawaban
A. −1/2 xe⁻²ˣ − 1/4 e⁻²ˣ + C
B. 1/2 xe⁻²ˣ + 1/4 e⁻²ˣ + C
C. −xe⁻²ˣ − e⁻²ˣ + C
D. 1/2 xe⁻²ˣ − 1/4 e⁻²ˣ + C
E. −2xe⁻²ˣ + C
Jawaban Benar
A. −1/2 xe⁻²ˣ − 1/4 e⁻²ˣ + C
Pembahasan Lengkap
Pilih:
u = x → du = dx
dv = e⁻²ˣ dx → v = −1/2e⁻²ˣ
Maka:
∫xe⁻²ˣ dx
= −1/2xe⁻²ˣ + 1/2∫e⁻²ˣ dx
= −1/2xe⁻²ˣ − 1/4e⁻²ˣ + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi eksponensial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menyelesaikan integral dengan eksponen negatif.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 28
Pertanyaan
Pilih metode yang paling tepat untuk menyelesaikan integral:
∫ x³ sin x dx
Pilihan Jawaban
A. Substitusi sederhana
B. Integral parsial satu kali
C. Integral parsial berulang
D. Pecahan parsial
E. Integral substitusi trigonometri
Jawaban Benar
C. Integral parsial berulang
Pembahasan Lengkap
Integral tersebut merupakan perkalian fungsi aljabar x³ dan fungsi trigonometri sin x. Setelah integral parsial pertama, masih tersisa fungsi aljabar x². Oleh karena itu, metode parsial harus digunakan kembali hingga pangkat x habis.
Jadi, metode yang tepat adalah integral parsial berulang.
Kompetensi yang Diukur
Menentukan strategi penyelesaian integral.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu memilih metode yang sesuai berdasarkan bentuk integral.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 29
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ (2x + 1)eˣ dx
Pilihan Jawaban
A. eˣ(2x + 1) + C
B. eˣ(2x − 1) + C
C. eˣ(2x + 3) + C
D. 2xeˣ + C
E. eˣ(x + 1) + C
Jawaban Benar
B. eˣ(2x − 1) + C
Pembahasan Lengkap
Pisahkan:
∫(2x + 1)eˣ dx
= 2∫xeˣ dx + ∫eˣ dx
Diketahui:
∫xeˣ dx = xeˣ − eˣ
Maka:
= 2(xeˣ − eˣ) + eˣ
= 2xeˣ − eˣ + C
= eˣ(2x − 1) + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan integral parsial pada fungsi aljabar dan eksponensial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menguraikan integral dan menggunakan hasil integral parsial.
Level Kognitif
C4 – Menganalisis.
Tingkat Kesulitan
Sulit.
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit.
Soal Nomor 30
Pertanyaan
Pernyataan yang benar mengenai integral parsial adalah ….
Pilihan Jawaban
A. Digunakan hanya untuk fungsi polinomial
B. Digunakan untuk semua integral tanpa pengecualian
C. Berguna untuk integral hasil perkalian dua fungsi tertentu
D. Tidak menggunakan turunan
E. Tidak memiliki konstanta integrasi
Jawaban Benar
C. Berguna untuk integral hasil perkalian dua fungsi tertentu
Pembahasan Lengkap
Integral parsial digunakan terutama untuk menyelesaikan integral yang berbentuk perkalian dua fungsi, seperti aljabar dengan eksponensial, aljabar dengan trigonometri, atau logaritma dengan fungsi aljabar.
Rumus dasarnya:
∫u dv = uv − ∫v du
Jadi, jawaban yang tepat adalah C.
Kompetensi yang Diukur
Memahami konsep integral parsial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menjelaskan fungsi dan kegunaan metode integral parsial.
Level Kognitif
C2 – Memahami.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Kesimpulan
Contoh soal integral parsial dapat diselesaikan dengan memahami rumus utama:
∫u dv = uv − ∫v du
Kunci utama metode ini adalah memilih u dan dv secara tepat sehingga integral yang tersisa menjadi lebih sederhana. Integral parsial banyak digunakan pada perkalian fungsi aljabar dengan fungsi eksponensial, trigonometri, maupun logaritma.
Untuk soal yang memiliki pangkat aljabar lebih tinggi, seperti x² atau x³, integral parsial biasanya perlu dilakukan beberapa kali. Dengan memahami pola tersebut dan berlatih secara bertahap, penyelesaian integral parsial akan menjadi lebih sistematis.
